Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn $x>\frac{1}{2}$, $0<y<2\sqrt{2}$ và $1+(1-xy){\log }_4(xy+2x)+x^2{\log }_2(x+1)={\log }_{x^2-xy+3}2$. Khi biểu thức $7x+9y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức $12y-4x$ thuộc khoảng nào sau đây?

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(x+1)=2$ là

Trong âm nhạc, một *quãng tám* (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, theo thứ tự từ thấp đến cao là:
Đô – Đô# – Rê – Rê# – **Mi (E4)** – Pha – Pha# – Sol – Sol# – **La (A4)** – La# – Si – Đô
trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một *nửa cung* (semitone). Hai nốt cách nhau $n$ nửa cung thì tỷ lệ tần số nốt cao $f_{nc}$ và tần số nốt thấp $f_{nt}$ là $\frac{f_{nc}}{f_{nt}}=2^{\frac{n}{12}}$; cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là $440\text{ Hz}$. Trên đàn guitar, dây số $1$ là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang là $300\text{ Hz}$. Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay $90^{\circ }$ thì nốt nhạc được tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số $1$ một góc bao nhiêu độ để dây số $1$ trở về âm chuẩn *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)*?

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(x-3)=3$ là

Xét cặp số nguyên dương $(x_0;y_0)$ thỏa ${\log }_7(7x+7)-3y=343^y-x$ và $0<x\le 2020$. Giá trị $x_0-42y_0$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(2x-3)=2$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }_9(x+1)=\frac{1}{2}$ là