Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(2;1;3)$. Qua điểm $A(0;3;1)$ kẻ các đường thẳng $AM,AN,AP$ lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại các điểm $M,N,P$. Biết rằng $AMNP$ là tứ diện đều, tính diện tích của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt tại gốc toạ độ $O$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu không quá $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra-đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi điểm $E(a;b;c)$ là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b-c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S_1):(x+4{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=16$, $(S_2):(x+4{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=36$ và điểm $A(6;3;0)$. Đường thẳng $d$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $(S_1)$, đồng thời cắt $(S_2)$ tại hai điểm $B,C$. Tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất là

Câu 3. Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính $450\text{ (km)}$ và chiều cao $30\text{ (km)}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là $1\text{ (km)}$. Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm $A(30;-780;60)$, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi $7\text{ (km)/giaˆy}$ hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}$. Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;1;1)$, mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-4=0$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=16$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và nằm trong $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-8{)}^2+y^2+z^2=32$. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi đi qua $O$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $M$. Tập hợp các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$.