Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các đáy là các tam giác đều, $A{B}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{B}^{\prime }=a$. Biết rằng góc giữa mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$, tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Gọi $x$ là độ dài cạnh đáy tam giác đều $ABC$, $M$ là trung điểm $AC$ và $H$ là trọng tâm $△ABC$. Vì $A{B}^{\prime }=B{B}^{\prime }=C{B}^{\prime }=a$ nên $B^{\prime }H\perp (ABC)$. Do $AC\perp BM$ và $AC\perp B^{\prime }H$ nên $AC\perp (B{B}^{\prime }M)$. Đường thẳng qua $M$ song song với $B{B}^{\prime }$ nằm trong cả $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(B{B}^{\prime }M)$, nên góc giữa $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ là $\widehat{B^{\prime }BM}=45^{\circ }$. Tam giác vuông $B^{\prime }HB$ tại $H$ vuông cân nên $B^{\prime }H=BH=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Lại có $BH=\frac{x}{\sqrt{3}}⟹x=a\sqrt{\frac{3}{2}}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2\cdot B^{\prime }H=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a^2}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}{a}^3}{16}$. Chọn đáp án C.