Cho biết ${\int }_{\frac{1}{e}}^e({\log }_{e^{2}x}x{)}^2\mathrm{d}x=ae+\frac{b}{e}+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $4a^2+b^3+c^2$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=a;x=b$ với $a<b$, thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(a\le x\le b)$ là một hình phẳng có diện tích bằng $S(x)$, $S(x)$ là một hàm liên tục trên $[a;b]$. Thể tích vật thể được tính bằng công thức

Tính tích phân $I={\int }_1^{2}2x\sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x$, bằng cách đặt $t=x^2-1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;4]$ với ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=3$. Tính $I={\int }_0^4[1-f(x)]\mathrm{d}x$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=3$ là

Cho hàm số $f(x)=x^3$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+5$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và trục hoành. Tính giá trị của $B-A$.