Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=a;x=b$ với $a<b$, thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(a\le x\le b)$ là một hình phẳng có diện tích bằng $S(x)$, $S(x)$ là một hàm liên tục trên $[a;b]$. Thể tích vật thể được tính bằng công thức

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ với mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{3-x^2}$ ($-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$). Thể tích của vật thể đã cho bằng

Một khối bê tông có chiều cao $2$ mét được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ mét ($0\le x\le 2$) thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài $5$ mét và chiều rộng bằng $(0,5{)}^x$ mét (xem hình dưới). Thể tích của khối bê tông đó bằng bao nhiêu mét khối (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một thùng rượu (xét phần bên trong) có 2 đáy là các hình tròn với bán kính là 30 cm, thiết diện $(P)$ vuông góc với trục nối tâm của 2 đáy và cách đều 2 đáy có bán kính là 40 cm (bên trong), chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh (bên trong) thùng rượu theo các đường parabol có đỉnh nằm trên mặt phẳng $(P)$, hỏi dung tích của thùng rượu (đơn vị: lít) là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị trục là mét). Một cạnh của hồ bơi dài $12\text{ m}$ nằm trên trục $Ox$; hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục $Oy$ và đường thẳng $x=12$; cạnh còn lại (mặt vô cực) là một phần đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{18}{x}^2+\frac{2}{3}x+4$. Đáy hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm $(a;b)$ được tính theo công thức $h(a)=\frac{1}{4}a+1$ (mét). Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu ${\text{m}}^3$?

Cắt một vật thể $\mathcal{T}$ bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với trục $Ox$ lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=a,x=b$ ($a<b$) (xem hình). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($a\le x\le b$) cắt $\mathcal{T}$ theo thiết diện có diện tích là $S(x)$. Giả sử $S(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó thể tích $V$ của phần vật thể $\mathcal{T}$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Thể tích phần giao nhau vuông góc và hai trục cắt nhau của hai ống nước hình trụ có cùng bán kính bằng $a$ là.