Cắt một vật thể $\mathcal{T}$ bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với trục $Ox$ lần lượt tại các điểm có hoành độ $x=a,x=b$ ($a<b$) (xem hình). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($a\le x\le b$) cắt $\mathcal{T}$ theo thiết diện có diện tích là $S(x)$. Giả sử $S(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó thể tích $V$ của phần vật thể $\mathcal{T}$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Thể tích phần giao nhau vuông góc và hai trục cắt nhau của hai ống nước hình trụ có cùng bán kính bằng $a$ là.

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ ($0\le x\le 3$), ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là $\sqrt{9-x^2}$ (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên dưới). Thể tích của vật thể đó bằng

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là $3,5\text{ m}$. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=4\text{ m}$. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC=4\text{ m}$, $CE=3,5\text{ m}$ và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao $1\text{ m}$ (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

[IMAGE:img_q22_ramp]

Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một elip $(E)$ có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (Hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt elip $(E)$ ở $M,N$ (Hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ (phần tô đậm trong Hình b) với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$. Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

Trong quy hoạch hạ tầng tuyến tàu điện Cát Linh - Hà Đông, để đảm bảo an toàn cho người dân cũng như khách du lịch, người ta thiết kế lan can bằng inox với hình dáng hai trục hình trụ vuông góc với nhau (như hình vẽ). Gọi $(H)$ là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính 12 cm. Tính $\frac{1}{4}$ thể tích của khối $(H)$ (hoặc thể tích theo mô hình cắt lát).

Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=0$ và $x=2$. Cắt phần vật thể này bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 2)$ thì phần chung của mặt phẳng và vật thể là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x^2\sqrt{2-x}$. Tính thể tích của vật thể này.