Từ một tấm bìa cứng hình vuông có cạnh bằng 6 dm, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau có cạnh bằng $x$ (dm) rồi gấp phần còn lại lên để tạo thành một chiếc hộp chữ nhật không có nắp. Tìm thể tích lớn nhất của chiếc hộp tạo thành (đơn vị: dm³).

Một trang sách có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với diện tích là $384\left(c{m}^2\right)$. Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3 cm; để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách là hình chữ nhật $EFIH$ được in chữ. (hình vẽ bên dưới).



Gọi $AB=x(cm)$ và $AD=y(cm)$ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của trang sách $\left(x,y>0\right)$

Một hộ kinh doanh sản xuất mỗi ngày được x sản phẩm ($1\le x<25$). Tổng chi phí (bao gồm chi phí sản xuất, vận chuyển, kho bãi, quảng cáo...) khi bán x sản phẩm được cho bởi công thức
$$S(x)=x^3-3x^2+80x+500\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}.$$ Giả sử bán mỗi sản phẩm với giá 500 nghìn đồng thì lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày mà hộ kinh doanh đạt được là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Mặt cắt đứng của một cây cầu vòm được mô phỏng bởi đường cong $y=\frac{1}{2}{e}^{-x^2}$, x tính bằng dam (1 dam = 10 m), y là độ cao so với mặt sân. Người ta muốn đặt một cống thoát nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật ABCD sao cho đáy AD nằm trên mặt sân (trục hoành), đỉnh B, C tựa trên vòm cầu (như hình minh họa). Để thể tích nước thoát qua cống đạt lớn nhất, cần thiết kế tiết diện sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD theo đơn vị mét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều $ABC$ với cạnh bằng 6 (dm). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều $DEF$ sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là $DEF$ và đáy lớn để hở. Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác $ABC$ là $AMDN$, $BPEQ$, $CSFR$ (như hình). Kẻ đường cao $AH$ và gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đặt $x=DN=DM$ $(0<x<2)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=4$ dm, $AD=2$ dm. Bạn chọn một điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng $AM$, chia tờ giấy thành hai phần.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh CD: Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh $D$, hai cạnh nằm trên đường $DA$ và $DC$, đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt $AM$.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh AB: Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác $ABM$.
Gọi $S$ (phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi $M$ di động trên $BC$, giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng bao nhiêu dm${}^2$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$. Giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260 triệu đồng. Biết rằng công ty tính toán được số tiền chi phí thấp nhất là 2340 triệu đồng, khi đó khoảng cách $AD$ (đơn vị km) bằng