Mặt cắt đứng của một cây cầu vòm được mô phỏng bởi đường cong $y=\frac{1}{2}{e}^{-x^2}$, x tính bằng dam (1 dam = 10 m), y là độ cao so với mặt sân. Người ta muốn đặt một cống thoát nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật ABCD sao cho đáy AD nằm trên mặt sân (trục hoành), đỉnh B, C tựa trên vòm cầu (như hình minh họa). Để thể tích nước thoát qua cống đạt lớn nhất, cần thiết kế tiết diện sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật ABCD theo đơn vị mét vuông, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều $ABC$ với cạnh bằng 6 (dm). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều $DEF$ sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là $DEF$ và đáy lớn để hở. Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác $ABC$ là $AMDN$, $BPEQ$, $CSFR$ (như hình). Kẻ đường cao $AH$ và gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đặt $x=DN=DM$ $(0<x<2)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=4$ dm, $AD=2$ dm. Bạn chọn một điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng $AM$, chia tờ giấy thành hai phần.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh CD: Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh $D$, hai cạnh nằm trên đường $DA$ và $DC$, đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt $AM$.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh AB: Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác $ABM$.
Gọi $S$ (phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi $M$ di động trên $BC$, giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng bao nhiêu dm${}^2$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$. Giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260 triệu đồng. Biết rằng công ty tính toán được số tiền chi phí thấp nhất là 2340 triệu đồng, khi đó khoảng cách $AD$ (đơn vị km) bằng

Một người cần phải chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên bờ $BD$, sau đó chạy bộ từ $C$ đến $B$. Biết rằng vận tốc chèo thuyền bằng $6km/h$, vận tốc chạy bộ là $8km/h$, khoảng cách từ vị trí $A$ đến bờ $BD$ bằng $4km$, khoảng cách hai vị trí $B,D$ bằng $10km$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí $B,C$ để tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ là nhỏ nhất (Làm tròn đến kết quả hàng phần trăm).

Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Toàn mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu (biết số lít xăng tiêu thụ trong các ngày là như nhau).

Một tấm kẽm hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $30cm$. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi thể tích khối lăng trụ lớn nhất thì khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $EFGH$ bằng $a\sqrt{b}(cm)$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính $T=a+2025b$.