Cho hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) Sai. ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên có tiệm cận đứng $x=2$. Vì bậc tử số (2) lớn hơn bậc mẫu (1), đồ thị có tiệm cận xiên (phép chia: $y=x+1+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên $y=x+1$) chứ không có tiệm cận ngang (${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$).

b) Sai. $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=1$ và $x=3$, đổi dấu qua các điểm này nên hàm số có cực trị (cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=3$).

c) Đúng. Trên $(3;+\infty )$, $(x-1)>0$, $(x-3)>0$, $(x-2{)}^2>0$ nên $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến.

d) Đúng. Trên $(2;6]$: với $x\in (2;3)$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), với $x\in (3;6]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến). Trên $(2;3)$ hàm nghịch biến từ $+\infty$ xuống giá trị nhỏ nhất $y(3)=\frac{9-3-1}{1}=5$; trên $[3;6]$ hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút $x=6$: $y(6)=\frac{36-6-1}{4}=\frac{29}{4}$. Vậy GTLN trên nửa khoảng $(2;6]$ bằng $\frac{29}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng x=2 và tiệm cận xiên y=x+1 (không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu).
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=(x-1)(x-3)/(x-2)^2 = 0 tại x=1, x=3 và đổi dấu, nên hàm số có cực đại tại x=1 và cực tiểu tại x=3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (3;+∞) có y'>0 nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên (2;3), đồng biến trên (3;6]; GTLN tại x=6: y(6)=29/4.