Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $|z+2|=\left|\frac{z+\bar{z}}{2}+4\right|$, gọi số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S=a+b^2$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z^2-2iz|=8$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|iz+1|$ bằng

Cho $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1+2-i|=|z_2+1-i|=1$ và $|z_1-2z_2+i|=\sqrt{3}$. Giá trị nhỏ nhất của $|2z_1+z_2+1|$ bằng $a+b\sqrt{c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $c\le 20$. Giá trị $a+b+c$ bằng:

Với hai số phức $z_1,z_2$ thay đổi thỏa mãn $|z_1+1-2i|=|z_1-5+2i|$ và $|z_2+3-2i|=2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+3+i|+|z_1-z_2|$ bằng

Cho số phức $z$ có phần ảo khác 0 thỏa mãn $\frac{z^2+4}{z}$ là số thực và $|z-4-3i|=m$ với $m\in \mathbb{R}$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó tổng giá trị các phần tử của $S$ là

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=1$ và $|w|=5$. Khi $|2z+w-6+8i|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $|z-w|$ bằng

Cho ba số phức $z_1,z_2,z_3$ thỏa mãn $z_1=4+i$, $|z_2-z_1|=|z_2-4i-1|$, $|z_3-z_1|=|z_3-4+i|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P=|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_1|$.