Cho hàm số $f(x)=2x^3+m{x}^2+nx+2022$ với $m,n$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)$ có hai giá trị cực trị là $e^{2023}-12$ và $e-12$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)}{g(x)+12}$ và $y=1$ bằng:

${\int }_1^3{x}^2\text{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=3$, ${\int }_0^{2}g(x)\text{d}x=-1$ thì ${\int }_0^2[f(x)-5g(x)+x]\text{d}x$ bằng

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=F(3)-G(0)+a$, $(a>0)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x),y=G(x),x=0,x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng

Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, biết rằng tồn tại hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $A,B$ và hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến tại $A,B$ tạo thành một hình chữ nhật $(H)$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng (minh họa như hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và hai tiếp tuyến tại $A,B$. $S_2$ là diện tích hình chữ nhật $(H)$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,x=3$ được xác định bằng công thức

Cho hàm số $f(x)=2x^3-3x^2+1$.