Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,x=3$ được xác định bằng công thức

Cho hàm số $f(x)=x^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ ($b,c,d,e\in \mathbb{R}$) đạt cực trị tại $x_1,x_2,x_3$ ($x_1<x_2<x_3$) và có $f(x_1)=1$, $f(x_2)=16$, $f(x_3)=9$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{f(x)}}$ và trục hoành bằng:

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên, biết $f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$ và thỏa mãn $(f(x)+1)$ và $(f(x)-1)$ lần lượt chia hết cho $(x-1{)}^2$ và $(x+1{)}^2$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích hình phẳng như trong hình bên. Tính $2S_1-S_2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+4$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=3$ là:

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh $S$ như hình vẽ, biết $OS=AB=4\text{ m}$, $O$ là trung điểm của $AB$. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc $140.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ được tô đậm $150.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại $160.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí để sơn cả 3 phần gần nhất với số nào sau đây?

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao $4\text{ m}$ và chiều rộng chân cổng là $4\text{ m}$. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao $2\text{ m}$ và rộng $2\text{ m}$. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành $8$ lớp ngang, mỗi lớp cao $0,5\text{ m}$ để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:
- Lớp dưới cùng có giá là $400$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$.
- Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm $50$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ so với lớp ngay dưới nó.
Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Ông An muốn xây dựng một chuồng nuôi bò trên một khu đất phẳng được giới hạn bởi các đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và một đường parabol đi qua hai điểm $A,D$ (như hình vẽ bên dưới). Biết $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\text{ m}$. Đỉnh $I$ của parabol nằm trên đường trung trực của $BC$ và cách cạnh $BC$ một khoảng bằng $5\text{ m}$. Chi phí để xây dựng mỗi mét vuông mặt sàn của chuồng bò là $350000$ đồng. Tính tổng số tiền ông An cần chi phí để xây dựng chuồng bò đó? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng nghìn)