Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, biết rằng tồn tại hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $A,B$ và hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai tiếp tuyến tại $A,B$ tạo thành một hình chữ nhật $(H)$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng (minh họa như hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và hai tiếp tuyến tại $A,B$. $S_2$ là diện tích hình chữ nhật $(H)$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,x=3$ được xác định bằng công thức

Cho hàm số $f(x)=2x^3-3x^2+1$.

Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+6$ và $y=g(x)=-b{x}^2+mx+n$ trong đó $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng $-2;1;3$. Chi phí trồng hoa là $150000\text{ đoˆˋng}/1{\text{ m}}^2$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hàm số $f(x)$ có $f(2)=2$, $f(3)=5$; hàm số $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[2;3]$. Khi đó ${\int }_2^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;4]$, ${\int }_1^4{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=7$ và $f(4)=5$. Khi đó $f(1)$ bằng:

Biết ${\int }_0^1[f(x)+2x]\mathrm{d}x=2$. Khi đó ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng: