Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=F(3)-G(0)+a$, $(a>0)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x),y=G(x),x=0,x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng

Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+6$ và $y=g(x)=-b{x}^2+mx+n$ trong đó $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng $-2;1;3$. Chi phí trồng hoa là $150000\text{ đoˆˋng}/1{\text{ m}}^2$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}$ và $g(x)=d{x}^2+ex+1$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3;-1;1$ (tham khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) và $g(x)=m{x}^2+nx+p$ ($m,n,p\in \mathbb{R}$). Biết hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là -1, 1 và 3 (như hình vẽ bên dưới). Gọi $A,B$ lần lượt là hai giao điểm của hai đồ thị với trục tung và $AB=3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị ( C ) là đường cong như hình dưới. Biết f ( x ) đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa x2= x1 + 2 và 4 f ( x1 ) = 5 f ( x2 ) . Đường thẳng d qua điểm uốn U của ( C ) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất cắt ( C ) tại hai điểm khác U có hoành độ x3 , x4 thỏa mãn x4 − x3 = 4 . Gọi S1 , S 2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong S1 hình. Tỉ số gần nhất với giá trị nào sau đây? S2 . 6 Mã đề 101

Cho parabol $(P):y=x^2$, điểm $A(0;1)$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(P)$ tại hai điểm $B(b;b^2)$, $C(c;c^2)$ sao cho $AC=4AB$ như hình vẽ bên dưới:



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=b,x=0$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=c,x=0$. Tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là $16\text{ m}$ và chiều rộng là $8\text{ m}$.



Các nhà Toán học dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa hồng là $45000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).