Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị ( C ) là đường cong như hình dưới. Biết f ( x ) đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa x2= x1 + 2 và 4 f ( x1 ) = 5 f ( x2 ) . Đường thẳng d qua điểm uốn U của ( C ) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất cắt ( C ) tại hai điểm khác U có hoành độ x3 , x4 thỏa mãn x4 − x3 = 4 . Gọi S1 , S 2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong S1 hình. Tỉ số gần nhất với giá trị nào sau đây? S2 . 6 Mã đề 101

Cho parabol $(P):y=x^2$, điểm $A(0;1)$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(P)$ tại hai điểm $B(b;b^2)$, $C(c;c^2)$ sao cho $AC=4AB$ như hình vẽ bên dưới:



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=b,x=0$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $d$ và hai đường thẳng $x=c,x=0$. Tỉ số diện tích $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là $16\text{ m}$ và chiều rộng là $8\text{ m}$.



Các nhà Toán học dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa hồng là $45000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Cho hàm số $y=f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y=g(x)$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=-1$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $d$ bằng 108. Giao điểm thứ hai của đường cong $(C)$ và đường thẳng $d$ có hoành độ $m>0$. Giá trị của $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Biết hàm số $g(x)=f(x)-\frac{2}{3}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{6}{f}^{\prime \prime }(x)$ có hai điểm cực trị là $x=1,x=\frac{1}{3}$. Với mỗi $t$ là hằng số tùy ý thuộc đoạn $[0;1]$ gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $x=0,y=f(t),y=f(x)$ và $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=f(x),y=f(t),x=1$. Biểu thức $P=8S_1+4S_2$ có thể nhận được bao nhiêu giá trị là số nguyên?

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-3;4]$. Biết rằng diện tích $S_1;S_2;S_3$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và Parabol $(P):y=g(x)=a{x}^2+bx+c$ (như hình vẽ) lần lượt là $k,l,m$.



Khi đó ${\int }_{-3}^{4}f(x)dx$ bằng

Cho các hàm số $y=f(x)=a{x}^4-x^3+2x+2$ và $y=g(x)=b{x}^3+c{x}^2+2$ với $a,b,c$ là các hệ số thực và có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích các hình phẳng được gạch sọc trong hình vẽ bên, biết rằng $S_2=\frac{81}{20}$. Khi đó, giá trị của $S_1$ bằng