Cho các số thực $b,c$ sao cho phương trình $z^2+bz+c=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-4+3i|=1$ và $|z_2-8-6i|=4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vì $b,c\in \mathbb{R}$ nên hai nghiệm phức liên hợp nhau: $z_2={\bar{z}}_1$. Suy ra $|{\bar{z}}_1-8-6i|=4⟺|z_1-8+6i|=4$. Điểm $M$ biểu diễn $z_1$ đồng thời thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(4;-3)$, bán kính $R_1=1$ và đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(8;-6)$, bán kính $R_2=4$. Vì $I_1{I}_2=\sqrt{(8-4{)}^2+(-6+3{)}^2}=5=R_1+R_2$ nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $M$. Do đó $M$ chia đoạn $I_1{I}_2$ theo tỉ số $\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{4}⟹M\left(\frac{24}{5};-\frac{18}{5}\right)$. Suy ra $z_1=\frac{24}{5}-\frac{18}{5}i$ và $z_2=\frac{24}{5}+\frac{18}{5}i$. Theo định lý Viète: $-b=z_1+z_2=\frac{48}{5}⟹b=-\frac{48}{5}$, và $c=z_1{z}_2={\left(\frac{24}{5}\right)}^2+{\left(\frac{18}{5}\right)}^2=36$. Vậy $5b+c=5\left(-\frac{48}{5}\right)+36=-48+36=-12$.