Cho ba số phức $z_1,z_2,z_3$ thỏa mãn $z_1=4+i$, $|z_2-z_1|=|z_2-4i-1|$, $|z_3-z_1|=|z_3-4+i|$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P=|z_1-z_2|+|z_2-z_3|+|z_3-z_1|$.

Gọi $A(4;1)$, $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2,z_3$. Từ $|z_2-(4+i)|=|z_2-(1+4i)|$ suy ra $M$ thuộc đường trung trực ${\Delta }_1:x-y=0$ của đoạn nối $(4;1)$ và $(1;4)$ (tức điểm đối xứng của $A(4;1)$ qua ${\Delta }_1$ là $A_1(1;4)$). Từ $|z_3-(4+i)|=|z_3-(4-i)|$ suy ra $N$ thuộc đường trung trực ${\Delta }_2:y=0$ của đoạn nối $(4;1)$ và $(4;-1)$ (điểm đối xứng của $A(4;1)$ qua ${\Delta }_2$ là $A_2(4;-1)$). Khi đó $P=AM+MN+NA=A_{1}M+MN+N{A}_2\ge A_1{A}_2=\sqrt{(4-1{)}^2+(-1-4{)}^2}=\sqrt{34}$.