Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m\in [-21;21]$ để phương trình $\frac{1}{\ln (x+21)}+\frac{1}{8^x-1}=m+x$ có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện: $x>-21,x\ne -20,x\ne 0$. Phương trình viết lại thành $m=g(x)=\frac{1}{\ln (x+21)}+\frac{1}{8^x-1}-x$. Ta có $g^{\prime }(x)<0$ trên từng khoảng $(-21;-20)$, $(-20;0)$ và $(0;+\infty )$. Hơn nữa ${\lim }_{x\to -21^{+}}g(x)=20$, ${\lim }_{x\to -20^{-}}g(x)=-\infty$, còn trên $(-20;0)$ và $(0;+\infty )$ hàm số nhận mọi giá trị từ $-\infty$ đến $+\infty$. Do đó phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ge 20$. Vì $m\in [-21;21]$ nguyên nên $m\in \{20;21\}$, có $2$ giá trị.