Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_2^{2}x-(2m+1){\log }_{2}x+m^2+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2=8$?

Cho $a,b,c>1$ thỏa mãn $6{\log }_{2ab}c\ge 1+{\log }_{2b}c\cdot {\log }_{a}c$ và biết phương trình $c^{x^2+1}=a^x$ có nghiệm. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P={\log }_a(2b{c}^2)$ bằng $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$ trong đó $m,n,p$ là các số nguyên dương và $\frac{m}{p}$ là phân số tối giản. Giá trị của $m+n+p$ bằng

Cho phương trình ${\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m-3=0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1>x_2>1$.

Điều kiện của tham số $m$ để phương trình $2\cdot 9^{x^2-x+m}-5\cdot 6^{x^2-x+m}+3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-x^2-m}=0$ có $4$ nghiệm phân biệt, trong đó có đúng $3$ nghiệm dương là

Có bao nhiêu số nguyên $y$ thuộc nửa khoảng $[-2022;2022)$ sao cho tồn tại $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $9\sqrt[3]{3y+9\cdot 2^x}=2^{3x}-3y$?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log }_3^{2}x-(m+2){\log }_{3}x+3m-1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt thỏa mãn $x_1\cdot x_2=27$.

Phương trình $4^x-2(m+1)\cdot 2^x+3m-8=0$ có hai nghiệm trái dấu khi $m\in (a;b)$. Giá trị của $P=b-a$ là