Cho số phức $z$ có phần ảo khác 0 thỏa mãn $\frac{z^2+4}{z}$ là số thực và $|z-4-3i|=m$ với $m\in \mathbb{R}$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của $m$ để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó tổng giá trị các phần tử của $S$ là

Đặt $\frac{z^2+4}{z}=z+\frac{4}{z}=k\in \mathbb{R}\iff z^2-kz+4=0$. Vì $z$ có phần ảo khác 0 nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức liên hợp và $|z{|}^2=4\iff |z|=2$. Do đó điểm biểu diễn $M$ của $z$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $O(0;0)$, bán kính $R_1=2$ (bỏ 2 điểm trên trục thực). Điều kiện $|z-4-3i|=m$ ($m>0$) biểu diễn đường tròn $(C_2)$ tâm $I(4;3)$, bán kính $R_2=m$. Khoảng cách $OI=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Để có đúng một số phức thỏa mãn thì $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc nhau: $m=OI-R_1=5-2=3$ hoặc $m=OI+R_1=5+2=7$. Tổng các giá trị của $m$ là $3+7=10$. Chọn D.