Cho khối chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Biết $SB=SC=SD$ và $SC$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Vì $SB=SC=SD$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{BCD}=120^{\circ }$, tam giác $BCD$ cân tại $C$. Tính góc giữa $SC$ và $(SAB)$ bằng $45^{\circ }$, ta suy ra chiều cao và tính được thể tích $V=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$. Chọn D.