Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $M$ là trung điểm của $SB,N$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $NS=2NC$, $P$ là điểm trên cạnh $SA$ sao cho $PA=2PS$. Kí hiệu $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện $S.PMN$ và $S.ABC$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=2a$ và $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$. Tính thể tích khối chóp $S.AMC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BA=BC=a,AD=2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên $SB$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $SAHCD$.

Nếu khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích $V$ thì khối chóp $A^{\prime }.ABC$ có thể tích bằng

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A^{\prime }M}=\frac{B^{\prime }N}{BN}=\frac{C^{\prime }P}{A^{\prime }P}=\frac{1}{2}$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BC$. Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $C{D}^{\prime }$ và tạo với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ một góc $\phi$ với $\tan \phi =\frac{\sqrt{5}}{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích là $V_1$ và $V_2$ với $V_1>V_2$. Tính $V_1$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, đường cao bằng $\frac{a}{6}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$, biết hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là điểm đối xứng của điểm $G$ qua tâm $O$ của mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (minh hoạ như hình bên).

[IMAGE:img_q49_stem]

Thể tích của khối đa diện $SABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng