Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A^{\prime }M}=\frac{B^{\prime }N}{BN}=\frac{C^{\prime }P}{A^{\prime }P}=\frac{1}{2}$. Gọi $Q$ là trung điểm của $BC$. Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $C{D}^{\prime }$ và tạo với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ một góc $\phi$ với $\tan \phi =\frac{\sqrt{5}}{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích là $V_1$ và $V_2$ với $V_1>V_2$. Tính $V_1$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, đường cao bằng $\frac{a}{6}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$, biết hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Gọi $S$ là điểm đối xứng của điểm $G$ qua tâm $O$ của mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (minh hoạ như hình bên).

[IMAGE:img_q49_stem]

Thể tích của khối đa diện $SABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$. Kết luận nào sau đây đúng?

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, $B{B}^{\prime }<a$, góc giữa hai mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$ và $(A^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích của tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Một khối trang trí trong suốt có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $20\text{ cm}$. Khối chóp đó có phần rỗng bên trong chứa dung dịch màu. Biết rằng phần rỗng đó được tạo thành từ đỉnh, tâm của đáy và trọng tâm bốn mặt bên của khối chóp tứ giác đều ban đầu (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần rỗng đó (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp tam giác S . ABC . Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC . Biết thể tích khối chóp S . ABC bằng 24. Thể tích khối chóp S . A′B′C ′ bằng