Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, $B{B}^{\prime }<a$, góc giữa hai mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$ và $(A^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích của tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Một khối trang trí trong suốt có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $20\text{ cm}$. Khối chóp đó có phần rỗng bên trong chứa dung dịch màu. Biết rằng phần rỗng đó được tạo thành từ đỉnh, tâm của đáy và trọng tâm bốn mặt bên của khối chóp tứ giác đều ban đầu (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần rỗng đó (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp tam giác S . ABC . Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC . Biết thể tích khối chóp S . ABC bằng 24. Thể tích khối chóp S . A′B′C ′ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $3a^3$, đáy $ABCD$ là hình bình hành với $AB=2a;AD=a;\widehat{ABC}=150^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $E$ là điểm đối xứng của $S$ qua $O$ và $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng tâm của các mặt bên $SAB,SBC,SCD,SDA$. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm $S,M,N,P,Q,E$ bằng:

Cho hình chóp $SABC$ có $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$.



Gọi $V_1$, $V_2$ lần lượt là thể tích của khối chóp $S{A}^{\prime }{B}^{\prime }C$ và $SABC$. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ cắt cạnh $BC$ tại $P$. Thể tích của khối đa diện $MBP{A}^{\prime }{B}^{\prime }N$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm $SD$; góc giữa $(SBC)$ và $(AMC)$ là $\phi$ thỏa mãn $\tan \phi =\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Thể tích khối đa diện $SABCM$ bằng