Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ cắt cạnh $BC$ tại $P$. Thể tích của khối đa diện $MBP{A}^{\prime }{B}^{\prime }N$ bằng

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$. Thể tích của khối chóp $M.ABCD$ bằng

Một khối gỗ có dạng hình chóp cụt đều, hai đáy là hình vuông có cạnh lần lượt là $5\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$, chiều cao của khối là $2,5\text{ cm}$ (xem hình). Người ta dùng một mặt phẳng song song với hai đáy để cắt bỏ phần trên của khối, sao cho thể tích phần còn lại đúng bằng một nửa thể tích khối ban đầu. Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao phần bị cắt đi. Hãy tính giá trị của $h$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tỉ số thể tích giữa khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }CB$ và khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng bao nhiêu?

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên ba cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy ba điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{S{A}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }B}=2\overrightarrow{S{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+3\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai khối. Gọi $V$ và $V^{\prime }$ lần lượt là thể tích các khối đa diện $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó tỉ số $\frac{V}{V^{\prime }}$ là:

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ nằm trên cạnh $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $C{C}^{\prime }=3CM$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }M)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A^{\prime }$, $V_2$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $B$. Tính tỉ số thể tích $V_1$ và $V_2$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $9a^3$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3};\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABC.MNP$.