Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$. Thể tích của khối chóp $M.ABCD$ bằng

Một khối gỗ có dạng hình chóp cụt đều, hai đáy là hình vuông có cạnh lần lượt là $5\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$, chiều cao của khối là $2,5\text{ cm}$ (xem hình). Người ta dùng một mặt phẳng song song với hai đáy để cắt bỏ phần trên của khối, sao cho thể tích phần còn lại đúng bằng một nửa thể tích khối ban đầu. Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao phần bị cắt đi. Hãy tính giá trị của $h$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tỉ số thể tích giữa khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }CB$ và khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng bao nhiêu?

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên ba cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy ba điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{S{A}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }B}=2\overrightarrow{S{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+3\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chia khối chóp $S.ABC$ thành hai khối. Gọi $V$ và $V^{\prime }$ lần lượt là thể tích các khối đa diện $S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó tỉ số $\frac{V}{V^{\prime }}$ là:

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, điểm $M$ nằm trên cạnh $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $C{C}^{\prime }=3CM$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }M)$ chia khối hộp thành hai khối đa diện. Gọi $V_1$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A^{\prime }$, $V_2$ là thể tích khối đa diện chứa đỉnh $B$. Tính tỉ số thể tích $V_1$ và $V_2$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $9a^3$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3};\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABC.MNP$.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt đáy trùng với tâm của đáy. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $BD$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$ cắt $SC$ tại $E$. Giả sử tỉ số thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và thể tích khối chóp $B.DCE$ bằng $k$. Giá trị của $k$ thuộc khoảng nào sau đây để góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$.