Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0$, $d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh $C(a;b)$, khi đó $2a+b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
B là giao của AB (đường thẳng qua M(0;2)) với phân giác d₂, A là giao của AB với d₁. Vì BC ⊥ d₁ (d₁ là đường cao từ A), suy ra hệ số góc của BC bằng −2. Do d₂ là phân giác tại B, đường BC là ảnh của đường AB qua phép đối xứng trục d₂: x − y − 1 = 0 (đối xứng (x;y) → (y+1; x−1)). Nếu AB: y = kx + 2 thì ảnh của nó là x − ky = k + 3 có hệ số góc 1/k, nên 1/k = −2 ⇒ k = −1/2. Khi đó: B = AB ∩ d₂: x − (−x/2 + 2) − 1 = 0 ⇒ x = 2, y = 1, B(2;1). A = AB ∩ d₁: x − 2(−x/2 + 2) − 2 = 0 ⇒ x = 3, y = 1/2, A(3; 1/2) (thử lại: A ∈ d₁, M(0;2) ∈ AB, B ∈ d₂ đều đúng). AB = √((3−2)² + (1/2 − 1)²) = √5/2, nên BC = AB/2 = √5/4. Đường BC qua B(2;1) có hệ số góc −2: y = −2x + 5. C = B + t(1;−2) với |t|√5 = √5/4 ⇒ t = ±1/4, cho C(9/4; 1/2) hoặc C(7/4; 3/2). Cả hai trường hợp đều cho 2a + b = 9/2 + 1/2 = 5 hoặc 7/2 + 3/2 = 5. Vậy 2a + b = 5, khớp đáp án nguồn.