Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB};\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ và $AP=\frac{4a}{15}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$.

- $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ nên $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $MB:MC=1:2$, suy ra $M=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ nên $NA:NC=1:2$, suy ra $N=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $P$ trên $AB$ với $AP=\frac{4a}{15}$ nên $P=\left(\frac{4a}{15};0\right)$.

a) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{a}{6}-\frac{4a}{15};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)=\left(-\frac{a}{10};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$. Tích vô hướng: $\frac{5a}{6}\cdot \left(-\frac{a}{10}\right)+\frac{\sqrt{3}a}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{6}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$. Vậy $AM\perp PN$: ĐÚNG.

b) $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{28a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$, suy ra $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$: SAI.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$: ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác với $\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$: SAI.

Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $M\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $P\left(\frac{4a}{15};0\right)$, $N\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$ ta có $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$ nên $AM\perp PN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$ nên $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{7}}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều nên góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác khẳng định đã cho.