Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$, $\widehat{BAC}=60^0$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}(k\in \mathbb{R})$.

Cho tứ diện $ABCD$ trong đó $AB=AC=AD=a$, $\widehat{BAC}=60^0$, $\widehat{BAD}=60^0$, $\widehat{CAD}=90^0$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với cả hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

b) Tính độ dài $IJ$.

Câu 1 (0,5 điểm). Trong mặt phẳng $Oxy$ cho các điểm $A(1;2)$ , $B(-1;1)$ , $C(5;-1)$ .Tính góc $BAC$ .

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).\overrightarrow{BD}$.

Cho tam giác $ABC$ với $\hat{A}=120^{\circ }$. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)$ theo đơn vị độ.

a) Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(2;-3),B(3;4)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho $\Delta ABM$ vuông tại $A$.
b) Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình thang vuông tại $A$ và $B$ với độ dài $AB=180m$, $BC=140m$, $AD=200m$, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều nhau trên một đường thẳng, cột thứ nhất nằm trên bờ $AB$ và cách đỉnh $A$ khoảng cách $60m$, cột thứ tư nằm chính giữa bờ $CD$. Tính khoảng cách từ vị trí cột thứ ba đến bờ $AD$.

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Biết $\left|\vec{a}\right|=6$, $\left|\vec{b}\right|=7$ và $\left(\vec{a};\vec{b}\right)=45^{\circ }$. Tính tích vô hướng của hai vectơ?