(1 điểm) Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2MB=3MC$.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$.

b) Cho đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$. Xác định vị trí điểm $K$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho biểu thức $P=\left|5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. a) Vì $2MB=3MC$ và $M$ thuộc cạnh $BC$ nên $\frac{MB}{MC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}.$$

b) Với mọi điểm $K$, áp dụng kết quả câu a) cho đỉnh $K$ thay $A$: $\overrightarrow{KM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{KB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{KC}$, do đó $2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=5\overrightarrow{KM}$ (thật vậy $2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ vì $\overrightarrow{MB}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{MC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$).

Khi đó:
$$P=\left|5\overrightarrow{KA}+5\overrightarrow{KM}\right|=5\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}\right|.$$

Gọi $G$ là trung điểm của $AM$. Với mọi điểm $K$: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{KG}$, nên $P=10KG$.

Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $KG$ nhỏ nhất, tức $K$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $d$ (do $G$ nằm trên đoạn $AM$ với $A\in d$, $M\notin d$ nên $G\notin d$).

Kết luận: $K$ là chân đường vuông góc hạ từ trung điểm $G$ của đoạn $AM$ xuống đường thẳng $d$; khi đó $P_{\min }=10\cdot d(G,d)$.