(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;-1)$, $B(3;5)$, $G(3;2)$.

a) Xác định tọa độ điểm $C$ sao cho điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

b) Xác định tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần IV):

a) G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, tức $C=3G-A-B$. Tọa độ: $x_C=3\cdot 3-(-1)-3=7$, $y_C=3\cdot 2-(-1)-5=2$. Vậy $C(7;2)$.

b) $M$ trên trục hoành nên $M(m;0)$. Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(-1-m;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(3-m;5)$. Tích vô hướng: $(-1-m)(3-m)+(-1)(5)=m^2-2m-3-5=m^2-2m-8=0$. Giải được $m=4$ hoặc $m=-2$ (đều thỏa, vì khi đó $M$ không trùng $A$, $B$). Vậy $M(4;0)$ hoặc $M(-2;0)$.

Kiểm tra: với $M(4;0)$: $\overrightarrow{MA}=(-5;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(-1;5)$, tích $=5-5=0$ ✓. Với $M(-2;0)$: $\overrightarrow{MA}=(1;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(5;5)$, tích $=5-5=0$ ✓.