Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên các trục là mét), một chất điểm $M$ chuyển động đều luôn cách điểm $I(3;3)$ một khoảng bằng 2. Một chất điểm $N$ khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng $(d)$; tại hai thời điểm, chất điểm đó ở vị trí $A(-3;2)$ và $B(2;7)$. Chứng minh rằng tại mọi thời điểm, khoảng cách giữa hai chất điểm $M,N$ nhỏ nhất là $\frac{5}{\sqrt{2}}-2$.

(1,0 điểm) Trong một trò chơi điện tử, màn hình của người chơi được xem là một hệ trục tọa độ $Oxy$ với điểm $O$ nằm ở góc trái màn hình (tham khảo hình vẽ). Nòng súng của người chơi ở vị trí có tọa độ $(2;1)$, đang ngắm bắn các mục tiêu thuộc đường tròn $(x-10{)}^2+(y-5{)}^2=4$. Nếu người chơi bắn trúng hai mục tiêu $B,C$ cùng lúc (dây cung $BC$ của đường tròn) thì số điểm của người chơi được tính bằng cách lấy phần nguyên của độ dài $BC$ rồi nhân với 10.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=4$ và đường thẳng $d:3x-4y+5=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm $A(1;1)$ nhỏ nhất. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-6x+2y+6=0$ và hai điểm $A(1;-1),B(1;3)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho đường thẳng $\Delta :3x-4y-19=0$ và đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25$. Biết đường thẳng $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ và các đường thẳng $d_1:mx+y-m-1=0$, $d_2:x-my+m-1=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để mỗi đường thẳng $d_1,d_2$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm đó lập thành một tứ giác có diện tích lớn nhất.

Trên địa bàn huyện A Lưới, đồn biên phòng có đặt một trạm thông tin tại vị trí có tọa độ H (3;4) trong mặt phẳng tọa độ ( đơn vị trên hai trục là ki – lô – mét). Biết trạm thông tin thu phát tín hiệu với bán kính phủ sóng 5 km. Trong đợt tuần tra, anh bộ đội bị lạc và không thể liên lạc được với đồn biên phòng. Tuy nhiên theo thiết bị định vị anh đang ở vị trí có tọa độ K(27;36). Anh đã di chuyển( theo đường chim bay) đoạn đường ngắn nhất tới vị trí có tọa độ M để có thể liên lạc được với đồn biên phòng. Xác định tọa độ điểm M?