Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=4$ và đường thẳng $d:3x-4y+5=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc đường tròn $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm $A(1;1)$ nhỏ nhất. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=4$ có tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=2$. a) Đúng. b) Khoảng cách từ $I$ đến $d:3x-4y+5=0$ là $d(I,d)=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-3)+5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{20}{5}=4\ne 2$, nên $d$ không phải tiếp tuyến → Sai. c) $IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(1+3{)}^2}=4>2=R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn → Đúng. d) $M$ thuộc $(C)$ sao cho $MA$ nhỏ nhất là giao điểm của $(C)$ với đoạn $IA$ (phía gần $A$): $\overrightarrow{IM}=(R/IA)\overrightarrow{IA}=(2/4)(0;4)=(0;2)$, nên $M=I+(0;2)=(1;-1)$ → Đúng. Kết quả Đ-S-Đ-Đ khớp bảng đáp án mã đề 528 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=4$ suy ra tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,d)=\frac{|3+12+5|}{5}=4\ne R=2$ nên $d$ cắt đường tròn tại hai điểm, không phải tiếp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{0^2+4^2}=4>2=R$ nên $A$ ở ngoài đường tròn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là giao điểm của $(C)$ với đoạn $IA$ gần $A$: $M=I+\frac{R}{IA}\overrightarrow{IA}=(1;-3)+\frac{2}{4}(0;4)=(1;-1)$.