Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ và các đường thẳng $d_1:mx+y-m-1=0$, $d_2:x-my+m-1=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để mỗi đường thẳng $d_1,d_2$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm đó lập thành một tứ giác có diện tích lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=2$.

Viết lại: $d_1:m(x-1)+(y-1)=0$ và $d_2:(x-1)-m(y-1)=0$, nên cả hai đường thẳng đều đi qua điểm $P(1;1)$. Vì $IP=1<R=2$ nên $P$ nằm trong đường tròn, do đó với mọi $m$, mỗi đường thẳng $d_1,d_2$ đều cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt.

Hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt $-m$ và $\frac{1}{m}$ (với $m\ne 0$), tích bằng $-1$ nên $d_1\perp d_2$ (trường hợp $m=0$: $d_1:y=1$, $d_2:x=1$ cũng vuông góc). Bốn giao điểm tạo thành tứ giác có hai đường chéo là hai dây cung của $(C)$ nằm trên $d_1,d_2$, cắt nhau tại $P$ và vuông góc, nên diện tích $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$ với $d_1,d_2$ là độ dài hai dây.

Khoảng cách từ $I$ đến $d_1$: $h_1=\frac{|m+2-m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$; từ $I$ đến $d_2$: $h_2=\frac{|1-2m+m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|m|}{\sqrt{m^2+1}}$.

Suy ra $d_1=2\sqrt{4-\frac{1}{m^2+1}}$, $d_2=2\sqrt{4-\frac{m^2}{m^2+1}}$, nên $S=\frac{2\sqrt{(4m^2+3)(3m^2+4)}}{m^2+1}$.

Đặt $t=m^2+1\ge 1$, khi đó $m^2=t-1$ và $(4m^2+3)(3m^2+4)=(4t-1)(3t+1)=12t^2+t-1$, do đó $S=\frac{2\sqrt{12t^2+t-1}}{t}=2\sqrt{12+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}$.

Đặt $u=\frac{1}{t}\in (0;1]$, xét $f(u)=12+u-u^2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $12+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$ khi $u=\frac{1}{2}$, tức $t=2$, suy ra $m^2=1$, tức $m=\pm 1$. Khi đó $S_{\max }=2\sqrt{\frac{49}{4}}=7$.

(Kiểm tra: tại $m=0$, $S=4\sqrt{3}\approx 6,93<7$.)

Vậy $m=\pm 1$.