Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(-1;3)$, đường thẳng $\Delta :3x-4y+6=0$ và đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-8y-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x-8y-5=0$ có tâm $I(-2;4)$, bán kính $R=\sqrt{4+16+5}=5$.
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3(-1)-4\cdot 3+6|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-9|}{5}=\frac{9}{5}\ne 9$ → sai.
b) $E(1;0)$ thuộc $(C)$ vì $1+0+4-0-5=0$. $\overrightarrow{IE}=(3;-4)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $E$: $3(x-1)-4(y-0)=0\iff 3x-4y-3=0$ → đúng.
c) $AI=\sqrt{(-1+2{)}^2+(3-4{)}^2}=\sqrt{2}<5$ nên $A$ nằm trong đường tròn. Dây $MN$ ngắn nhất khi $d^{\prime }\perp IA$, tức $d^{\prime }$ có pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(1;-1)$: $1(x+1)-1(y-3)=0\iff x-y+4=0\ne x+y-2=0$ → sai.
d) $d\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{n_d}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(4;3)$: $4(x+1)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-5=0$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3(-1)-4(3)+6|}{5}=\frac{9}{5}\ne 9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$E\in (C)$, $\overrightarrow{IE}=(3;-4)$, tiếp tuyến: $3(x-1)-4y=0\iff 3x-4y-3=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ ngắn nhất khi $d^{\prime }\perp IA$; pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(1;-1)$ cho $d^{\prime }:1(x+1)-1(y-3)=0\iff x-y+4=0$, không phải $x+y-2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d\perp \Delta$ nên $\overrightarrow{n_d}=(4;3)$: $4(x+1)+3(y-3)=0\iff 4x+3y-5=0$.