a) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5.

b) Một túi chứa 4 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để 3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu.

a. (3,0 điểm) Cho $A$ là bảng các ô vuông có kích thước $2026\times 2026$. Điền vào mỗi ô của bảng $A$ một số thuộc tập hợp $M=\{-1;0;1\}$. Có bao nhiêu cách điền sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảng vuông con $2\times 2$ bất kì đều bằng 0?
b. (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tập hợp $S$ gồm 62 điểm phân biệt có tọa độ nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Với mỗi cặp điểm phân biệt $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$ thuộc $S$, ta xét đại lượng:
$$T(A,B)=(x_A-x_B{)}^2+70(y_A-y_B{)}^2.$$
Hai điểm $A,B$ được gọi là "liên kết" với nhau nếu $T(A,B)$ chia hết cho 3.
Chứng minh tồn tại một tam giác có ba đỉnh thuộc $S$, đôi một "liên kết" với nhau mà diện tích là một số nguyên chia hết cho 9.

Cho tập $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số( hai vị trí khác nhau đặt hai số khác nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau.

a) Cho hình chữ nhật $ABCD$ gồm $8\times 10$ ô vuông cạnh bằng 1. Xét đường đi có độ dài 18 từ $A$ đến $C$ dọc theo cạnh các hình vuông đó và đổi hướng đúng 4 lần. Tính số đường đi khác nhau có thể có. Dưới đây là một ví dụ đường đi thỏa yêu cầu của bài toán.



b) Cho $A$ là tập con của tập $\{1;2;3;\dots ;2026\}$ gồm nhiều hơn 1010 phần tử. Chứng minh rằng $A$ chứa phần tử là lũy thừa của 2 hoặc chứa hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2.

Cho lưới hình chữ nhật $ABCD$ gồm $m\times n$ ô vuông cạnh bằng 1 (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Xét đường đi có độ dài $(m+n)$ từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới và đổi hướng đúng $k$ lần $(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

a) Tính số đường đi ứng với $m=n=4$ và $k=2$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).



b) Tính số đường đi ứng với $m=8,n=10$ và $k=4$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).

Có bao nhiêu cách xếp 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho bên cạnh học sinh nam nào cũng có ít nhất 1 học sinh nữ?

Năm 2025, bộ phim "Mưa đỏ" đạt doanh thu hơn 700 tỉ đồng, trở thành bộ phim Việt ăn khách nhất mọi thời đại. Bộ phim được chuyển thể từ tác phẩm cùng tên của nhà văn Chu Lai, đây là một trong rất nhiều tác phẩm mà nhà văn Chu Lai viết về đề tài chiến tranh. Xúc động trước hình ảnh máu xương ông, cha đổ xuống, đất trời lưu danh mà bộ phim đã truyền tải đến người xem, một thầy giáo dạy Toán đã mua một số tác phẩm của nhà văn Chu Lai, cụ thể là "Mưa đỏ", "Nắng đồng bằng", "Đêm tháng Hai", "Sông -xã", "Gió không thổi từ biển", "Ăn mây dĩ văng", "Phó nhà bình", "Nhà lao cày đũa", mỗi tác phẩm mua một cuốn. Thầy giáo dự định dùng các tác phẩm đó để trao thưởng ngẫu nhiên cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 em. Hỏi có bao nhiêu cách phát thưởng tất cả các tác phẩm trên cho các em trong đội tuyển sao cho mỗi em được ít nhất một cuốn?