Cho tập $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số( hai vị trí khác nhau đặt hai số khác nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau.

a) Cho hình chữ nhật $ABCD$ gồm $8\times 10$ ô vuông cạnh bằng 1. Xét đường đi có độ dài 18 từ $A$ đến $C$ dọc theo cạnh các hình vuông đó và đổi hướng đúng 4 lần. Tính số đường đi khác nhau có thể có. Dưới đây là một ví dụ đường đi thỏa yêu cầu của bài toán.



b) Cho $A$ là tập con của tập $\{1;2;3;\dots ;2026\}$ gồm nhiều hơn 1010 phần tử. Chứng minh rằng $A$ chứa phần tử là lũy thừa của 2 hoặc chứa hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2.

Cho lưới hình chữ nhật $ABCD$ gồm $m\times n$ ô vuông cạnh bằng 1 (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Xét đường đi có độ dài $(m+n)$ từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới và đổi hướng đúng $k$ lần $(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

a) Tính số đường đi ứng với $m=n=4$ và $k=2$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).



b) Tính số đường đi ứng với $m=8,n=10$ và $k=4$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).

Có bao nhiêu cách xếp 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho bên cạnh học sinh nam nào cũng có ít nhất 1 học sinh nữ?

Trong bảng $n\times n$ ô vuông xếp 661 quân đôminô sao cho mỗi quân đôminô phủ kín đúng 2 ô vuông $2\times 1$ hoặc $1\times 2$, ngoài ra hai quân đôminô bất kỳ không chạm nhau (không có điểm chung kể cả ô cạnh hay đỉnh). Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.

Năm 2025, bộ phim "Mưa đỏ" đạt doanh thu hơn 700 tỉ đồng, trở thành bộ phim Việt ăn khách nhất mọi thời đại. Bộ phim được chuyển thể từ tác phẩm cùng tên của nhà văn Chu Lai, đây là một trong rất nhiều tác phẩm mà nhà văn Chu Lai viết về đề tài chiến tranh. Xúc động trước hình ảnh máu xương ông, cha đổ xuống, đất trời lưu danh mà bộ phim đã truyền tải đến người xem, một thầy giáo dạy Toán đã mua một số tác phẩm của nhà văn Chu Lai, cụ thể là "Mưa đỏ", "Nắng đồng bằng", "Đêm tháng Hai", "Sông -xã", "Gió không thổi từ biển", "Ăn mây dĩ văng", "Phó nhà bình", "Nhà lao cày đũa", mỗi tác phẩm mua một cuốn. Thầy giáo dự định dùng các tác phẩm đó để trao thưởng ngẫu nhiên cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 em. Hỏi có bao nhiêu cách phát thưởng tất cả các tác phẩm trên cho các em trong đội tuyển sao cho mỗi em được ít nhất một cuốn?

Trong mặt phẳng cho tập hợp $S$ gồm 10 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc $S$?