a) Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định bán hai loại xe máy là xe Lead và xe Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại, trong đó nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận dự kiến có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?

b) Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$. Gọi T là tập các số thuộc S và mỗi số đó nhỏ hơn 25000. Tìm số phần tử của S và số phần tử của T.

a) Gọi $x$, $y$ lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về $(x,y\ge 0)$.

Lợi nhuận dự kiến là $F(x;y)=5x+3,2y$ (triệu đồng).

Tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng nên ta có: $40x+30y\le 36000$.

Tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại nên ta có: $x+y\le 1100$.

Nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision nên ta có: $x\le \frac{3}{2}y$.

Cần tìm $x,y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn hệ $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 40x+30y\le 36000\\ x+y\le 1100\\ x\le \frac{3}{2}y\end{array}$$ sao cho biểu thức $F(x;y)$ lớn nhất.



Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với $O(0;0),A(600;400),B(300;800),C(0;1100)$.

Ta có $F(0;0)=0$, $F(600;400)=4280$, $F(300;800)=4060$, $F(0;1100)=3520$.

Do đó lợi nhuận dự kiến lớn nhất có thể thu được là 4280 triệu đồng.

b) Gọi $n=\overline{abcde}$ là số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
Ta có $e\in \{0,2,4,6\}$.

Trường hợp 1: $e=0$
- Có 1 cách chọn $e$.
- Chọn 4 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại và sắp xếp: $A_6^4$ cách.
- Số các số: $1\times A_6^4=360$ số.

Trường hợp 2: $e\in \{2,4,6\}$
- Có 3 cách chọn $e$.
- $a$ có 5 cách chọn (khác 0 và khác $e$).
- Chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số còn lại và sắp xếp: $A_5^3$ cách.
- Số các số: $3\times 5\times A_5^3=15\times 60=900$ số.
- Vậy $|S|=360+900=1260$ (phần tử).

Tìm số phần tử của $T$. Vì $n<25000$ và $a\ne 0$, nên $a\in \{1,2\}$.

Trường hợp 1: $a=1$ (Số có dạng $\overline{1bcde}$)

Để $n$ chẵn, $e\in \{0,2,4,6\}$.
- Chọn $e$: có 4 cách.
- Chọn bộ $(b,c,d)$ từ 5 chữ số còn lại: $A_5^3=60$ cách.
- Số các số: $4\times 60=240$ số.

Trường hợp 2: $a=2$ (Số có dạng $\overline{2bcde}$)

Vì $n<25000$ nên $b<5$ và $b\ne 2$, suy ra $b\in \{0,1,3,4\}$.

- $b\in \{1,3\}$ (b lẻ)
- Chọn $b$: 2 cách.
- Chọn $e$ chẵn từ $\{0,4,6\}$ (không chọn được 2 vì $a=2$): 3 cách.
- Chọn 2 chữ số còn lại $(c,d)$ từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$ cách.
- Số các số: $2\times 3\times 12=72$ số.

- $b\in \{0,4\}$ (b chẵn)
- Chọn $b$: 2 cách.
- Chọn $e$ chẵn (khác 2, b) còn 2 cách chọn e.
- Chọn 2 chữ số còn lại $(c,d)$ từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$ cách.
- Số các số: $2\times 2\times 12=48$ số.

Vậy $|T|=240+72+48=360$ (phần tử).