Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2+y^2-2x-6y+1=0$.

a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(-2;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đưa phương trình về dạng chính tắc: $x^2+y^2-2x-6y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=9$. Vậy tâm $I(1;3)$, bán kính $R=3$.

b) Kiểm tra: $IM=\sqrt{(-2-1{)}^2+(3-3{)}^2}=3=R$, nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(-3;0)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $-3(x+2)+0(y-3)=0\iff x=-2$. Vậy tiếp tuyến tại $M$ là đường thẳng $x=-2$ (đường thẳng đứng, vuông góc với bán kính nằm ngang $IM$).