Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Cho mặt trụ $(T)$ có bán kính bằng $R=10$. Mặt phẳng $(P)$ tạo với trục của $(T)$ một góc $45^{\circ }$. Biết thiết diện tạo bởi $(P)$ và $(T)$ là một elíp $(E)$ có độ dài trục bé bằng hai lần bán kính của mặt trụ $(T)$. Diện tích của hình elíp giới hạn bởi $(E)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (quy ước đơn vị đo trên các trục là kilômét) một vệ tinh viễn thông $M$ di chuyển trên quỹ đạo là một đường Elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Quỹ đạo này nhận hai trạm phát tín hiệu tại mặt đất làm tiêu điểm là $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Trong suốt quá trình vận hành, vệ tinh luôn duy trì tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát $A$ và $B$ cố định bằng $10\text{ km}$. Một máy thu dữ liệu được đặt tại đỉnh của một tháp điều khiển có tọa độ $C(0;0;4)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ máy thu $C$ đến vệ tinh $M$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $S$ là tập hợp số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z+3|+|z-3|=10$. Xét hai số $z_1;z_2$ thuộc tập hợp $S$ sao cho $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_1{z}_2|$ là

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{ cm}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Năm 2025 đánh dấu 80 năm Ngày Quốc khánh 2/9/1945 – 2/9/2025, ngày Bác Hồ đọc Tuyên ngôn Độc lập, khai sinh ra nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa. Trên lá cờ đỏ thiêng liêng tung bay hôm ấy, là ngôi sao vàng năm cánh – biểu tượng của tinh thần đoàn kết và sức mạnh dân tộc. Nhân dịp đặc biệt này, một nhóm học sinh đã lên ý tưởng thiết kế logo cho sự kiện kỷ niệm Ngày Quốc khánh là một ngôi sao vàng cách điệu, nội tiếp đường tròn. Biết năm cánh của ngôi sao được tạo bởi các đường Parabol, các đỉnh của ngôi sao tạo thành hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn $(C)$ bán kính $5\text{ cm}$, mỗi đỉnh Parabol cách tâm đường tròn $(C)$ một khoảng bằng $2\text{ cm}$. Để hoàn thiện bản thiết kế, các bạn ấy muốn tính diện tích phần ngôi sao, nhằm cân đối bố cục và tính lượng sơn cần dùng. Diện tích phần ngôi sao xấp xỉ bao nhiêu ${\text{cm}}^2$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một đơn vị dài trên các trục tương ứng với $10$ mét trên thực tế. Trên một khu đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai trạm phát tín hiệu định vị đặt cố định tại $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Một thiết bị dò tìm $M$ di chuyển trên mặt đất, có bộ thu tín hiệu từ cả hai trạm; theo đó thiết bị chỉ hoạt động ổn định tại các vị trí sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai trạm $A,B$ luôn bằng $10$ đơn vị (tương ứng $100$ mét trên thực tế). Tại vị trí $C(0;5;4)$ có đặt một trạm chỉ huy. Khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị $M$ đến trạm chỉ huy $C$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).