Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-5)$, $B(1;1)$, $C(0;-2)$; $G(1;2)$ và đường thẳng $\Delta :2x-y+9=0$. Đường tròn $(C)$ đi qua $B,C$ và có tâm nằm trên đường thẳng $\Delta$.

Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z$ sao cho $|z+2+i|=3$. Gọi $T$ là tập hợp các số phức $w$ sao cho $\bar{w}\left[w-(1-i)\right]+2-6i$ là một số thực. Xét các số phức $z_1,z_2\in S$ thỏa mãn $|z_1-z_2|=4\sqrt{2}$, và số phức $w\in T$ thỏa mãn $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}$ có phần ảo bằng $0$. Khi biểu thức $|w-z_1||w-z_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức $|w-z_1|+|w-z_2|$ là

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $(z+2i)(\bar{z}+2)$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của $z$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(z+1-3i)(\bar{z}+1+3i)=25$. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn có tâm $I(a;b)$ và bán kính $c$. Tổng $a+b+c$ bằng

Một khu vườn có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai đường tròn là $20\text{ m}$ và $15\text{ m}$, khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là $30\text{ m}$. Phần giao của hai hình tròn được trồng hoa với chi phí $300000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Phần còn lại được trồng cỏ với chi phí $100000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi chi phí để trồng hoa và cỏ của khu vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m\in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $|z-m|=5$ và $\frac{z}{z-6}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$.

Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{z-2-4i}$ là số thuần ảo, biết biểu thức $P=|z+4-6i{|}^2-|z-2-3i{|}^2$ đạt giá trị lớn nhất khi $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Giá trị $a+2b$ bằng