Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+4y+9=0$. Bán kính của đường tròn $(C)$ là bao nhiêu?

Câu 6. Sửa chữa, xây dựng lối đi (cầu gỗ) là một biện pháp thường gặp để nâng cao hiệu quả tham quan du lịch. Như hình vẽ, một hồ chứa có một đảo nhỏ hình nửa đường tròn bán kính $1$ (trăm mét), tâm là $C$, và đường kính $MN$ song song với mặt đập. Trên mặt đập có điểm $A$ thỏa mãn $AC\perp MN$ và $AC=3$ (trăm mét). Để thuận tiện cho du khách ra đảo ngắm cảnh, dự định xây ba đoạn lối đi $AB,BD,BE$. Điểm $B$ nằm trên đoạn $AC$; các đoạn $BD,BE$ đều là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$, các tiếp điểm lần lượt là $D,E$. Biết rằng các đoạn $AB,BD,BE$ và đảo nằm trong cùng một mặt phẳng. Ngoài ra, trên đảo nửa tròn còn xây thêm các lối đi theo cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{ME}}$, cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{ND}}$ và đoạn thẳng $MN$. Bỏ qua các yếu tố khác, cần xây tổng chiều dài lối đi nhỏ nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ là một phần tư đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $M$ là một điểm di động trên cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$. Tiếp tuyến với cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ tại điểm $M$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $P$ và cắt cạnh $BC$ tại điểm $Q$. Tính độ dài đoạn thẳng $DP$ để $PQ$ có độ dài nhỏ nhất *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*.
[IMAGE_1]

Biết rằng trong tất cả các cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2\le 2$, luôn tồn tại các giá trị của tham số $m$ để biểu thức $P=3x+4y$ chỉ có duy nhất một giá trị $m$. Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ đó bằng

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(1;1)$ và đường thẳng $(d):3x+4y-2=0$. Đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $(d)$ có phương trình

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để có duy nhất một cặp số $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}(2x-4y+m)\ge 1$ và $x+y-2m=0$. Tính tổng các phần tử trong tập $S$.

Trong hệ tọa độ $(Oxy)$, cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $d:3x+4y-1=0$.