Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để có duy nhất một cặp số $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}(2x-4y+m)\ge 1$ và $x+y-2m=0$. Tính tổng các phần tử trong tập $S$.

Điều kiện: $2x-4y+m>0$. Bất phương trình tương đương: $2x-4y+m\ge x^2+y^2+2\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2\le m+3$. Để tồn tại hình tròn thì $m+3\ge 0\iff m\ge -3$. Đây là hình tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{m+3}$. Cặp $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời nằm trên đường thẳng $\Delta :x+y-2m=0$. Để có duy nhất một cặp $(x;y)$ thỏa mãn thì đường thẳng $\Delta$ phải tiếp xúc với đường tròn tâm $I$ bán kính $R$, tức là $d(I,\Delta )=R\iff \frac{|1-2-2m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{m+3}\iff \frac{(2m+1{)}^2}{2}=m+3\iff 4m^2+4m+1=2m+6\iff 4m^2+2m-5=0$. Phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện $m\ge -3$. Tổng các phần tử của tập $S$ là $m_1+m_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.