Cho phương trình $x^2+y^2-2x+2my+10=0$ $(1)$. Tính tổng các giá trị nguyên dương của $m$ không vượt quá $10$ để $(1)$ là phương trình của đường tròn?

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ và $-10\le z\le 10$. Biết rằng khi $(x;y;z)=(x_0;y_0;z_0)$ thì biểu thức $P=(x+3{)}^2+(y-5{)}^2+(z+1{)}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng $x_0+y_0+z_0$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$ là

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+1}(2x-4y)=1$. Tính $P=x\cdot y$ khi biểu thức $S=4x+3y-5$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có góc $\widehat{NMP}$ tù. Đường tròn $(C)$ ngoại tiếp tam giác $MNP$ có phương trình $x^2+y^2=25$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $NP$ cắt đường tròn $(C)$ tại $E(0;-5)$, $E\ne M$. Biết tam giác $MNP$ có trọng tâm $G\left(-\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right)$ và $M(a;b)$. Tính giá trị của $S=3a^2+4b^2-ab$.

Câu 10. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+6y+1=0$ có bán kính $R$ bằng

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2=2(a+b)-1$ và $c^2+d^2=50-10(c+d)$. Giá trị nhỏ nhất của $P=(a+d{)}^2+(b+c{)}^2$ gần giá trị nào nhất sau đây: