Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ (khác gốc tọa độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0$. Tính tổng $T=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi mặt phẳng cắt các trục tại A(p;0;0), B(0;q;0), C(0;0;r) với p,q,r≠0, tức ax+by+cz=14 với a=14/p, b=14/q, c=14/r. Vì M(1;2;3) là trực tâm tam giác ABC: AM⊥BC nên (1−p;2;3)·(0;−q;r)=0 ⇒ −2q+3r=0 ⇒ 2q=3r. BM⊥AC: (1;2−q;3)·(−p;0;r)=0 ⇒ −p+3r=0 ⇒ p=3r. CM⊥AB: (1;2;3−r)·(−p;q;0)=0 ⇒ −p+2q=0, thỏa mãn với p=2q=3r. M thuộc (α): 14/p+28/q+42/r=14. Thay q=3r/2, p=3r: 14/(3r)+56/(3r)+126/(3r)=196/(3r)=14 ⇒ r=14/3, p=14, q=7. Suy ra a=14/14=1, b=14/7=2, c=14/(14/3)=3. Kiểm tra: a+2b+3c=1+4+9=14 đúng. Vậy T=a+b+c=1+2+3=6.