Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):3x-4z+8=0$ và $(Q):3x-4z-12=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn $(C)$ có tâm $H(a;b;c)$, bán kính $r$. Tính $T=25\left(a+c+\frac{r}{\sqrt{6}}\right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=1$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2=y=-z$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$, tiếp xúc với $(S)$ tại $T$ và $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $T{T}^{\prime }$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + y 2 + z 2 =
2
9 và
( S ′) : x2 + ( y − 6 ) + z 2 =
2
24 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( C ) và mặt phẳng ( P ) : z − m =
0.
Gọi T là tập hợp các giá trị của m để trên mặt phẳng ( P ) dựng được một tiếp tuyến đến đường tròn
( C ) . Tổng các phần tử của tập hợp T là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):2x-2y-z+1=0$ và $(Q):x+2y-2z-4=0$. Xét mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-6y+m=0(m<13)$.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  10  0 và điểm I (1; 2; 2) . Phương
trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) là

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  8; 1;6  , B 1; 2;3 , C 16;3;5  . Điểm M di động
mặt cầu  S1  :  x  4    y  3   z  3  49 sao cho tam giác MAB
2 2 2
trên có
  sin MBA
2sin MAB  . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng CM thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(0;3;0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng $9$.