Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  8; 1;6  , B 1; 2;3 , C 16;3;5  . Điểm M di động
mặt cầu  S1  :  x  4    y  3   z  3  49 sao cho tam giác MAB
2 2 2
trên có
  sin MBA
2sin MAB  . Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng CM thuộc khoảng nào dưới đây?

**Chọn A**

Ta có I1  4;3; 3 , R1  7 là tâm và bán kính của  S1  .

  2 MB  MA  MA  2 MB .
  sin MBA
Xét tam giác MAB ta có 2sin MAB
2R 2R
Gọi M  x; y; z  khi đó

( x  8) 2  ( y  1) 2  ( z  6) 2  2 ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2
 x 2  y 2  z 2  8 x  6 y  4 z  15  0.

Suy ra điểm M thuộc mặt cầu  S 2  : x 2  y 2  z 2  8 x  6 y  4 z  15  0 có tâm I 2  4;3; 2  ,
R2  2 11 .
Do đó M   S1    S 2  .
Mặt khác hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn  C  tâm H nằm trên mặt phẳng
Oxy (vì hiệu của hai phương trình mặt cầu là z  0 ).
Suy ra H là hình chiếu của I 2  4;3; 2  lên mặt phẳng Oxy nên H  4;3;0  và

MH  I 2 M 2  I 2 H 2  2 10 .

Do đó M nằm trên đường tròn tâm H bán kính r  2 10 .
Gọi C  là hình chiếu của C trên Oxy suy ra C  16;3;0  .

   7,564   7;8 .
2
Ta có HC   12 nên CM min  52  12  2 10