Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f(-x^3+3x+m)$ có đúng 6 điểm cực trị?
[IMAGE:img_q45_q]

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=(-3x^2+3)f^{\prime }(-x^3+3x+m)$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}-3x^2+3=0\\ f^{\prime }(-x^3+3x+m)=0\end{array}\right]$.
Từ đồ thị $y=f(x)$, ta thấy các điểm cực trị là $x=0$ và $x=2$, nên $f^{\prime }(u)=0\iff \left[\begin{array}{c}u=0\\ u=2\end{array}\right]$.
Do đó:
$y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ -x^3+3x+m=0\\ -x^3+3x+m=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\pm 1\\ m=x^3-3x\\ m=x^3-3x+2\end{array}\right]$
Xét đồ thị hai hàm số $g(x)=x^3-3x$ và $h(x)=x^3-3x+2$ như hình vẽ bên dưới:
[IMAGE:img_q45_sol]

Để hàm số có đúng 6 điểm cực trị thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hai hàm số trên tại các điểm phân biệt (khác $\pm 1$) sao cho tổng số nghiệm đơn bằng 6.
Dựa vào đồ thị ta suy ra yêu cầu bài toán tương đương:
$\left[\begin{array}{c}2\le m<4\\ -2<m\le 0\end{array}\right]$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;2;3\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.