Trên tập số phức, xét phương trình $z^2+2(m+1)z+m+7=0$ ($m$ là số thực) có các nghiệm phân biệt là $z_1$ và $z_2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $|z_1+5|=|z_2+5|$?

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m+7)=m^2+m-6$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>2$ hoặc $m<-3$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì $z_1\ne z_2$, ta có $|z_1+5|=|z_2+5|\iff z_1+5=-(z_2+5)\iff z_1+z_2=-10$.
Theo định lý Vi-et: $z_1+z_2=-2(m+1)=-10\iff m+1=5\iff m=4$ (thỏa mãn $m>2$).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff -3<m<2$.
Phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=-(m+1)\pm i\sqrt{-{\Delta }^{\prime }}$.
Khi đó $z_1+5$ và $z_2+5$ là hai số phức liên hợp nên luôn có $|z_1+5|=|z_2+5|$ với mọi $m\in (-3;2)$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$ (4 giá trị).
Tổng cộng có $1+4=5$ giá trị nguyên thỏa mãn: $m\in \{-2;-1;0;1;4\}$. Chọn A.