Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{5x+4y}{x^2+y^2+xy+3}+4(x+y)=(x+y-1{)}^2+(x-2{)}^2+(y-1{)}^2$?

Điều kiện: $5x+4y>0$.
Khai triển vế phải:
$(x+y-1{)}^2+(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y+6$.
Phương trình tương đương:
${\log }_2\frac{10x+8y}{2x^2+2y^2+2xy+6}=(2x^2+2y^2+2xy+6)-(10x+8y)$
$\iff {\log }_2(10x+8y)+(10x+8y)={\log }_2(2x^2+2y^2+2xy+6)+(2x^2+2y^2+2xy+6)$.
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên $(0;+\infty )$, có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến.
Do đó $2x^2+2y^2+2xy+6=10x+8y\iff 2x^2+2(y-5)x+2y^2-8y+6=0$.
Để phương trình bậc hai theo $x$ có nghiệm, điều kiện cần là ${\Delta }^{\prime }\ge 0$:
${\Delta }^{\prime }=(y-5{)}^2-2(2y^2-8y+6)=-3y^2+6y+13\ge 0\Rightarrow -1.31\le y\le 3.31$.
Vì $y$ nguyên nên $y\in \{-1;0;1;2;3\}$:
- $y=-1\Rightarrow x^2-6x+8=0\iff x=2$ hoặc $x=4$ (2 cặp: $(2;-1),(4;-1)$, đều thỏa mãn $5x+4y>0$).
- $y=0\Rightarrow x^2-5x+3=0$ (không có nghiệm nguyên).
- $y=1\Rightarrow x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=4$ (2 cặp: $(0;1),(4;1)$, đều thỏa mãn).
- $y=2\Rightarrow x^2-3x-1=0$ (không có nghiệm nguyên).
- $y=3\Rightarrow x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ (2 cặp: $(0;3),(2;3)$, đều thỏa mãn).
Vậy có tất cả 6 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn. Chọn D.